martes, 31 de marzo de 2009

INTEGRALES

Se dice que cuando una integral de f(X) se puede escribir de la forma f(X)=g(h(x)) h' (x) con g y h' continuas, y se puede hacer el siguiente cambio de variable u= h (x), du=h'(x) y la integral de f(x) cambiarla a la integral de g(u).

La importancia de este método es que una integral que no se puede resolver de forma inmedia al hacer el cambio de variable la transformamos a una integral inmediata.






PASOS PARA LE RESOLUCIÓN DE UNA INTEGRAL POR CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIÓN




Tenemos que observar si la integral la podemos resolver por el método directo.
Pero hay que recordar que si la integral esta elevada el cuadrado, al cubo, etc. Seria muy complicado resolverla por el método directo.


  • *Así que tendremos que realizarla por el método de sustitución.
  • *La clave para trabajar con este tipo de integrales es ver que una parate de función al derivar te da la otra parte.
  • *Aplicamos el método, la integral se convirtio en una integral directa y por lo tanto aplicamos la fórmula correspondiente para integrala.
  • *Una vez integrada la función volvemos a hacer el cambio de variable ya que nustra función depende de "x" y no de "u".
  • *Ya obtenemos el resultado.



EJEMPLO:

1.- Lo primero que hacemos es dividir el problema en factores para resolverlo de una forma mas practica.
2.- En esta caso quedaría así porque solo se divide la secante, porque 6x es una constante que nunca va a cambiar por eso queda igual.


3.-Se aplica la fórmula pero solo a la primera secante.



4.- Después multiplicamos Tangente cuadrado de 6x por Secante cuadrado de 6x y el 1 al igual por Secante cuadrado de 6x.

QUEDARIA


5.- Rompemos nuestro problema en integrales.



6.- Aquí lo que vamos a hacer es ver como esta ubicada , y como podriamos resolver.





Y que otra fórmula podemos ocupar, lo que podemos observar es que (tan 6x) es f(x), por lo tanto lo vamos a derivar.

Vemos que le falta a la ecuación en esta caso seria un 6 antes de "dx" al momento de ponercelo lo tenemos que quitar antes de la integral.



8.- Quedaria de esta forma.


9.-Para poder completar devemos hacer lo mismo con Secante cuadrado de 6x, solo que en esté caso no es f(x) sino es "u" tenemos que sacar "du" y queda de esta manera.



10.-Lo único que nos falto es resolver ahora si directo





















NOTA: no se pone secante cuadrado de 6x, por que cuando derivamos es el resultado que nos dio.
Cuando ya sacamos "du" en nuestra segunda integral aplicamos la fórmula para secante cuadrado que seria tan x + C.
Es por eso que queda en el resultado 2 tangentes.






EJEMPLO 2:







* Se divide en integrales





* A plicamos la formula





*Y resolvemos









* Resultado



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